lunes, 24 de septiembre de 2012

Matemáticas de Escher

La teselación es un patrón de figuras que cumple dos condiciones: no quedan huecos entre los dibujos y las figuras no se superponen. Para ello, se emplea una operación matemática llamada transformación isométrica. La teselación de Penrose, además de lo dicho anteriormente, se caracteriza porque no es periódica y está generada por un conjunto aperiódico de baldosas que reciben el nombre de Penrose por el físico matemático Roger Penrose.

El patrón de Penrose es un embaldosado bidimensional o de un espacio tridimensional por baldosas idénticas de dos tipos (rombos agudos y obtusos con un ángulo de 74º y 144º en dos dimensiones y romboedros agudos y obtusos con ángulos de 63,64º y 116,57º en tres dimensiones). El patrón bidimensional es una sección a través de las tres dimensiones. Cuando se unen (o repiten) las reglas se prescriben, el patrón es único y no-periódico. Tiene ejes de cinco veces y por tanto, representa una estructura fuera del formalismo de la cristalografía clásica y puede designarse por una cuasi-red.

Los vértices de las baldosas se coordinan con cinco ejes de 72º aparte. La matriz métrica es por tanto singular pero puede ser invertida, usando la prescripción de inversión generalizada, para dar una red recíproca. Esto permite los cálculos normales de distancias y ángulos en el espacio real y recíproco. Si un patrón tiene un número finito de unidades es invertida, los puntos de la red recíproca pueden tener índices integrales. En tres dimensiones tenemos tres ejes de los cuales tres son redundantes.

La no periodicidad se demuestra en que las figuras no son superponibles: no se puede realizar la operación matemática de simetría translacional. Una curiosidad es que cualquier región finita aparece infinitas veces en la teselación. Cuando esto se aplica en tres dimensiones se obtiene un cuasicristal, que producirá la difracción de Bragg. Parece ser que Penrose que presentó la teselación en 1974, reconoce que se inspiró en Johannes Kepler.

Por otro lado, tenemos al artista holandés, M. C. Escher, que por sugerencia de un amigo matemático aprendió los teselados hiperbólicos y se conoce que visitó la Alhambra de Granada, donde estuvo estudiando los patrones de los mosaicos. Lo cierto, es que como artista Escher no tenía ninguna pretensión ni contenido, sino que hacía lo que le gustaba, normalmente soluciones de problemas, juegos visuales y guiños al espectador. En cuanto a la disposición y el uso de la técnica que emplea a lo largo de su obra, se puede distinguir: la estructura del espacio (en la que incluye cuerpos matemáticos), la estructura de superficie (metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito), y la proyección del espacio tridimensional en el plano.

Señalar que no solo existe la teselación de Penrose, también está la de Voronoi, pero esa es otra historia... Así que os dejo un vídeo que encontré en el blog XdCiencia:
Referencias

Crystallography and the Penrose Pattern, A. L. Mackay, Physica 114 A (1982) 609-613

ResearchBlogging.orgUnuncuadio (2012). Matemáticas de Escher Ninguno DOI: 10.1016/0378-4371(82)90359-4

Esta es una contribución  a la edición 3.141592 del Carnaval de Matemáticas que se encuentra alojado en  ZTFNews y en la I Edición del Carnaval de Humanidades

2 comentarios:

  1. ¡Me encanta!. Una apreciación, Roger Penrose es físico matemático.

    Felicidades por el post.

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    Respuestas
    1. Anotado ;) gracias!!! Quiero investigar más acerca de Penrose, también por su teoría acerca de cómo extraer energía de un agujero negro.

      Un saludo

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