La teselación es un
patrón de figuras que cumple dos condiciones: no quedan huecos entre
los dibujos y las figuras no se superponen. Para ello, se emplea una
operación matemática llamada transformación isométrica. La
teselación de Penrose, además de lo dicho anteriormente, se
caracteriza porque no es periódica y está generada por un conjunto
aperiódico de baldosas que reciben el nombre de Penrose por el físico matemático Roger Penrose.
Los vértices de las
baldosas se coordinan con cinco ejes de 72º aparte. La matriz
métrica es por tanto singular pero puede ser invertida, usando la
prescripción de inversión generalizada, para dar una red recíproca.
Esto permite los cálculos normales de distancias y ángulos en el
espacio real y recíproco. Si un patrón tiene un número finito de
unidades es invertida, los puntos de la red recíproca pueden tener
índices integrales. En tres dimensiones tenemos tres ejes de los
cuales tres son redundantes.
El patrón de Penrose es
un embaldosado bidimensional o de un espacio tridimensional por
baldosas idénticas de dos tipos (rombos agudos y obtusos con un
ángulo de 74º y 144º en dos dimensiones y romboedros agudos y
obtusos con ángulos de 63,64º y 116,57º en tres dimensiones). El
patrón bidimensional es una sección a través de las tres
dimensiones. Cuando se unen (o repiten) las reglas se prescriben, el
patrón es único y no-periódico. Tiene ejes de cinco veces y por
tanto, representa una estructura fuera del formalismo de la
cristalografía clásica y puede designarse por una cuasi-red.
La no periodicidad se
demuestra en que las figuras no son superponibles: no se puede
realizar la operación matemática de simetría translacional. Una
curiosidad es que cualquier región finita aparece infinitas veces en
la teselación. Cuando esto se aplica en tres dimensiones se obtiene
un cuasicristal, que producirá la difracción de Bragg. Parece ser
que Penrose que presentó la teselación en 1974, reconoce que se
inspiró en Johannes Kepler.
Por otro lado, tenemos
al artista holandés, M. C. Escher, que por sugerencia de un amigo
matemático aprendió los teselados hiperbólicos y se conoce que
visitó la Alhambra de Granada, donde estuvo estudiando los patrones
de los mosaicos. Lo cierto, es que como artista Escher no tenía
ninguna pretensión ni contenido, sino que hacía lo que le gustaba,
normalmente soluciones de problemas, juegos visuales y guiños al
espectador. En cuanto a la disposición y el uso de la técnica que
emplea a lo largo de su obra, se puede distinguir: la estructura del
espacio (en la que incluye cuerpos matemáticos), la estructura de
superficie (metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito), y la
proyección del espacio tridimensional en el plano.
Señalar que no solo
existe la teselación de Penrose, también está la de Voronoi, pero
esa es otra historia... Así que os dejo un vídeo que encontré en el blog XdCiencia:
Referencias
Crystallography
and the Penrose Pattern, A. L.
Mackay, Physica 114 A
(1982) 609-613
Ununcuadio (2012). Matemáticas de Escher Ninguno DOI: 10.1016/0378-4371(82)90359-4Esta es una contribución a la edición 3.141592 del Carnaval de Matemáticas que se encuentra alojado en ZTFNews y en la I Edición del Carnaval de Humanidades
¡Me encanta!. Una apreciación, Roger Penrose es físico matemático.
ResponderEliminarFelicidades por el post.
Anotado ;) gracias!!! Quiero investigar más acerca de Penrose, también por su teoría acerca de cómo extraer energía de un agujero negro.
EliminarUn saludo